Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh...

Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định...

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao – Ôn tập chương III – Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Cho parabol \((P):{y^2} = {1 \over 2}x.\) Gọi M,N là hai điểm di động trên (P) sao cho \(OM \bot ON\) (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Giả sử \(M(2y_1^2\,;\,{y_1})\,\, \in \,\,(P)\,\,\,N(2y_2^2\,;\,{y_2})\,\, \in \,\,(P)\) trong đó \({y_1},\,{y_2}\, \ne 0\) và \({y_1} \ne \,{y_2}\) vì \(\overrightarrow {OM} .\,\overrightarrow {ON}  = 0\) nên \(4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0\)

 suy ra \(4{y_1}{y_2} + 1 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{y_1}{y_2} =  – {1 \over 4}\)

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2y_2^2 – 2y_1^2\,;\,{y_2} – {y_1}} \right) \)

Quảng cáo

                    \(= \left( {{y_2} – {y_1}} \right).\left( {2{y_2} + 2{y_1}\,;\,1} \right)\)

Vì \({y_1} \ne \,{y_2}\) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là \((2{y_1} + 2{y_2}\,;\,1)\) .

Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là \(\overrightarrow n  = (1\,;\, – 2{y_1} – 2{y_2})\)

 Phương trình tổng quát của MN là

\(1.(x – 2y_1^2) – (2{y_1} + 2{y_2}).(y – {y_1}) = 0\)

Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay \(y=0\) vào (*) ta được

\(x – 2y_1^2 + 2y_1^2 + 2{y_1}{y_2} = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x = {1 \over 2}\)

Vậy MN đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2}\,;\,0} \right)\) cố định.

Quảng cáo