Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định...

Cho parabol $(P):{y^2} = {1 \over 2}x.$ Gọi M,N là hai điểm di động trên (P) sao cho $OM \bot ON$ (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Giả sử $M(2y_1^2\,;\,{y_1})\,\, \in \,\,(P)\,\,\,N(2y_2^2\,;\,{y_2})\,\, \in \,\,(P)$ trong đó ${y_1},\,{y_2}\, \ne 0$ và ${y_1} \ne \,{y_2}$ vì $\overrightarrow {OM} .\,\overrightarrow {ON}  = 0$ nên $4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0$

 suy ra $4{y_1}{y_2} + 1 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{y_1}{y_2} =  - {1 \over 4}$

Ta có $\overrightarrow {MN}  = \left( {2y_2^2 - 2y_1^2\,;\,{y_2} - {y_1}} \right)$

                    $= \left( {{y_2} - {y_1}} \right).\left( {2{y_2} + 2{y_1}\,;\,1} \right)$

Vì ${y_1} \ne \,{y_2}$ nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là $(2{y_1} + 2{y_2}\,;\,1)$ .

Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là $\overrightarrow n  = (1\,;\, - 2{y_1} - 2{y_2})$

 Phương trình tổng quát của MN là

$1.(x - 2y_1^2) - (2{y_1} + 2{y_2}).(y - {y_1}) = 0$

Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay $y=0$ vào (*) ta được

$x - 2y_1^2 + 2y_1^2 + 2{y_1}{y_2} = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x = {1 \over 2}$

Vậy MN đi qua điểm $\left( {{1 \over 2}\,;\,0} \right)$ cố định.