Bài 22 trang 201 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh các đẳng thức sau:...

Chứng minh các đẳng thức sau

a) cos⁴α –sin⁴α  = 2cos²α  - 1

b) $1 - {\cot ^4}\alpha  = {2 \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {{{\sin }^4}\alpha }}\,\,\,(\sin \alpha  \ne 0)$

c) ${{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {1 - {{\sin }^2}\alpha }} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha \,\,\,(\sin \alpha  \ne  \pm 1)$

Đáp án

a) Ta có:

cos⁴α –sin⁴α  = (cos²α + sin²α)(cos²α – sin²α)

= cos²α – sin²α = cos²α – (1 – cos²α) = 2cos²α – 1

b) Ta có:

$\eqalign{ & 1 - {\cot ^4}\alpha  \cr & = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}(1 - {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }}) \cr&= {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}{\rm{[}}{{{{\sin }^2}\alpha - (1 - {{\sin }^2}\alpha )} \over {{{\sin }^2}\alpha }}{\rm{]}} \cr & = {{2{{\sin }^2}\alpha - 1} \over {{{\sin }^4}\alpha }} = {2 \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {{{\sin }^4}\alpha }} \cr}$

c) Ta có:

$\eqalign{ & {{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {1 - {{\sin }^2}\alpha }} =  {{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} ={1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} + {\tan ^2}\alpha \cr & = 1 + 2{\tan ^2}\alpha \cr}$