Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 32 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao, Viết phương...

Bài 32 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao, Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau...

Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau. Bài 32 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 5. Đường Elip

Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = {{\sqrt 3 } \over 2};\)

b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4;

c) (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)

a) Ta có:

\(\eqalign{
& 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4 \cr
& e = {c \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \cr
& {b^2} = {a^2} – {c^2} = 16 – 12 = 4 \cr} \)

Quảng cáo

Vậy \((E):{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

b) Ta có: 

\(\eqalign{
& 2b = 8 \Leftrightarrow b = 4 \cr
& 2c = 4 \Leftrightarrow c = 2 \cr
& {a^2} = {b^2} + {c^2} = 16 + 4 = 20 \cr} \) 

Vậy \((E):{{{x^2}} \over {20}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\)

c) Ta có: \(c = \sqrt 3  \Rightarrow {a^2} – {b^2} = 3\)

Giả sử: \((E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

\(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\) nên \({1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{a^2} – {b^2} = 3 \hfill \cr
{1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
{1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
4{b^4} + 5{b^2} – 9 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{b^2} = – {9 \over 4}\,(loai) \hfill \cr
{b^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy  \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

Quảng cáo