Bài 66 trang 112 SBT Hình 10 nâng cao...

Cho elip $(E):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,(a > b > 0).$

a)  Chứng minh rằng với mọi $M$ thuộc $(E),$ ta luôn có $b \le OM \le a$.

b) Gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng có phương trình $\alpha x + \beta y = 0$ với $(E)$. Tính $OA$ theo $a, b, \alpha , \beta$.

c) Gọi $B$ là điểm trên $(E)$ sao cho $OA \bot OB$. Chứng minh rằng tổng $\dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}}$ có giá trị không đổi.

d) Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

a) $M({x_0} ; {y_0}) \in (E)$

$\Rightarrow    \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1   (a > b > 0)  ;$

$O{M^2} = x_0^2 + y_0^2$.

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{a^2}}} \le  \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1  \\  \Leftrightarrow    x_0^2 + y_0^2 \le {a^2}  \\  \Leftrightarrow O{M^2} \le {a^2}    \Leftrightarrow OM \le a.\\ \dfrac{{x_0^2}}{{{b^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} \ge  \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1    \\\Leftrightarrow    x_0^2 + y_0^2 \ge {b^2}    \Leftrightarrow O{M^2} \ge {b^2} \\   \Leftrightarrow OM \ge b.\end{array}$

Vậy $b \le OM \le a$. Ta có $a=OM$ khi và chỉ khi $y_0=0,$ tức là $M$ trùng với các đỉnh trên trục lớn.

Ta có $b=OM$ khi và chỉ khi $x_0=0,$ tức là $M$ trùng với các đỉnh trên trục bé.

b) Tọa  độ điểm $A$ là nghiệm của hệ

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\alpha x + \beta y = 0\\ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \\   \Rightarrow   x_A^2 =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\beta ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}} , \\  y_A^2 =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}.\\O{A^2} = x_A^2 + y_A^2\\ =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\beta ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}} +  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}\\ =  \dfrac{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}.\\ \Rightarrow   OA =  \dfrac{{ab.\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}{{\sqrt {{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}} }}.\end{array}$

c) Do $OA$ vuông góc với $OB$ nên phương trình đường thẳng $OB$ là: $\beta x - \alpha y = 0$. $B$ là giao điểm của $(E)$ với đường thẳng $\beta x + ( - \alpha )y = 0$ nên áp dụng câu b), ta có

$O{B^2} =  \dfrac{{{a^2}{b^2}\left[ {{\beta ^2} + {{( - \alpha )}^2}} \right]}}{{{a^2}{\beta ^2} + {b^2}{{( - \alpha )}^2}}}$

$=  \dfrac{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{{{a^2}{\beta ^2} + {b^2}{\alpha ^2}}}.$

Do đó :

$\dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}}$

$=  \dfrac{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2} + {a^2}{\beta ^2} + {b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}$

$=  \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}$ không đổi.

d)

Kẻ $OH \bot AB$. Trong tam giác vuông $AOB,$ ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{O{H^2}}} =  \dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}} =  \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\\ \Rightarrow    OH =  \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\end{array}$

Vậy đường thẳng $AB$ luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm $O,$ bán kính $R =  \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.