Bài 69 trang 113 SBT Hình học 10 Nâng cao: Bài 5. Đường elip....

Chứng minh rằng phép co về trục $Ox$ theo hệ số $\dfrac{b}{a} < 1$, biến đường tròn $(C): {x^2} + {y^2} = {a^2}$ thành elip $(E):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và ngược lại, phép co về trục $Oy$ theo hệ số $\dfrac{a}{b} > 1$ biến elip $(E):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ thành đường tròn $(C): {x^2} + {y^2} = {a^2}$.

$M(x ; y) \in (C)    \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {a^2}$. Ảnh $M’$ của $M$ qua phép co về trục $Ox$ theo hệ số $\dfrac{b}{a} < 1$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x_{M’}} = x\\{y_{M’}} =  \dfrac{b}{a}y\end{array} \right.  \\  \Rightarrow {a^2} = {x^2} + {y^2}\\ = x_{M’}^2 +  \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}y_{M’}^2  \\  \Leftrightarrow     \dfrac{{x_{M’}^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_{M’}^2}}{{{b^2}}} = 1.$

Vậy ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép co về trục $Ox$ theo hệ số $\dfrac{b}{a} < 1$ là elip $(E):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Phần ngược lại chứng minh tương tự.