Bài 34 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao, Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm...

Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm $A( - 3;4)\,\,B(1;1)\,\,C(9; - 5).$

a) Chứng minh ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $A$ là trung điểm của $BD$.

c) Tìm tọa độ điểm $E$ trên trục $Ox$ sao cho $A, B, E$ thẳng hàng.

a) Ta có

$\,\,\,\left. \matrix{ \overrightarrow {AB} = (1 + 3\,;\,1 - 4) = (4\,;\, - 3) \hfill \cr \overrightarrow {AC} = (9 + 3\,;\, - 5 - 4) = (12\,;\, - 9) \hfill \cr} \right\}\, \Rightarrow \,\overrightarrow {AC} \, = 3\overrightarrow {AB}$

Vậy ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

b) Gọi $D\,({x_D}\,;\,{y_D})$. Do $A$ là trung điểm của $BD$ nên ta có

$\left\{ \matrix{ {x_A} = {{{x_B} + {x_D}} \over 2} \hfill \cr {y_A} = {{{y_B} + {y_D}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3 = {{1 + {x_D}} \over 2} \hfill \cr 4 = {{1 + {y_D}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = - 7 \hfill \cr {y_D} = 7 \hfill \cr} \right.$

Vậy $D( - 7\,;\,7)$.

c) Gọi $E\,({x_E}\,;\,0)$ trên trục $Ox$ sao cho $A, B, E$ thẳng hàng.

Do đó có số $k$ thỏa mãn $\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB}$

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\, - 3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {{x_E} + 3\,;\, - 4} \right) \cr & \Rightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {x_E} + 3 = 4k \hfill \cr - 4 = - 3k \hfill \cr} \right.\,\, \Rightarrow \,\left\{ \matrix{ k = {4 \over 3} \hfill \cr {x_E} = {7 \over 3} \hfill \cr} \right.\,\,\, \Rightarrow \,E\,\left( {{7 \over 3}\,;\,0} \right)\, \cr}$