Advertisements (Quảng cáo)
Giải và biện luận các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
x + my = 1 \hfill \cr
mx – 3my = 2m + 3 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
mx + y = 4 – m \hfill \cr
2x + (m – 1)y = m \hfill \cr} \right.\)
a) Ta có:
\(\eqalign{& D = \,\left|\matrix{
1 & m \cr m & { – 3m} \cr}\right |\, = – 3m – {m^2} = – m(m + 3) \cr & {D_x} = \left|\matrix{1 & m \cr {2m + 3} & { – 3m} \cr} \right |\, = – 3m – m(2m + 3) \cr&\;\;\;\;\;\;= – 2m(m + 3) \cr & {D_y} = \left|\matrix{1 & 1 \cr m & {2m + 3} \cr}\right |\, = \,2m + 3 – m = m + 3 \cr} \)
+Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ -3 nên hệ có nghiệm duy nhất là:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ – 2m(m + 3)} \over { – m(m + 3)}} = 2 \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 3} \over { – m(m + 3)}} = – {1 \over m} \hfill \cr} \right.\)
+ Nếu D = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = – 3 \hfill \cr} \right.\)
i) Với m = 0, Dy = 3 ≠ 0: hệ vô nghiệm
Advertisements (Quảng cáo)
ii) Với m = -3, hệ trở thành:
\(\left\{ \matrix{
x – 3y = 1 \hfill \cr
– 3x + 9y = – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {{x – 1} \over 3}\)
Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{{x – 1} \over 3})\) ; x ∈ R
b) Ta có:
\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
m & 1 \cr
2 & {m – 1} \cr}\right |\, = m(m – 1) – 2 \cr&\;\;\;\;= {m^2} – m – 2 = (m + 1)(m – 2) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{4 – m} & 1 \cr m & {m – 1} \cr}\right |\, = (4 – m)(m – 1) – m \cr&\;\;\;\;= – {m^2} + 4m – 4 = – {(m – 2)^2} \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{m & {4 – m} \cr 2 & m \cr}\right |\, = \,{m^2} – 2(4 – m) \cr&\;\;\;\;= {m^2} + 2m – 8 = (m – 2)(m + 4) \cr} \)
+ Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 và m ≠ 2 nên hệ có nghiệm duy nhất là:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ – {{(m – 2)}^2}} \over {(m + 1)(m – 2)}} = {{ – m + 2} \over {m + 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{(m + 4)(m – 2)} \over {(m + 1)(m – 2)}} = {{m + 4} \over {m + 1}} \hfill \cr} \right.\)
+ Nếu D = 0 ⇔ m = -1 hoặc m = 2
i) m = -1; Dx ≠ 0. Hệ vô nghiệm
ii) m = 2, thế y = 2 – 2x. Hệ có vô số nghiệm (x; 2 – 2x); x ∈ R