Advertisements (Quảng cáo)
Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm?
a)
\(\left\{ \matrix{
(a + 1)x – y = a + 1 \hfill \cr
x + (a – 1)y = 2 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
(a + 2)x + 3y = 3a + 9 \hfill \cr
x + (a + 4)y = 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 1} & { – 1} \cr
1 & {a – 1} \cr} \right|\, = {a^2} – 1 + 1 = {a^2} \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{a + 1} & { – 1} \cr 2 & {a – 1} \cr} \right|\, = {a^2} – 1 + 2 = {a^2} + 1 \ne 0 \cr} \)
+ Nếu a ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a = 0 thì hệ vô nghiệm (do Dx ≠ 0)
Vậy hệ có nghiệm ⇔ a ≠ 0
b) Ta có:
\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 2} & 3 \cr
1 & {a + 4} \cr} \right|\, = (a + 2)(a + 4) – 3 \cr&= {a^2} + 6a + 5 = (a + 1)(a + 5) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{3a + 9} & 3 \cr 2 & {a + 4} \cr} \right|\, = (3a + 9)(a + 4) – 6 \cr&= 3{a^2} + 21a + 30 = 3(a + 2)(a + 5) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{{a + 2} & {3a + 9} \cr 1 & 2 \cr} \right|\, = 2(a + 2) – (3a + 9)\cr& = – a – 5 \cr} \)
+ Nếu a ≠ -1 và a ≠ -5 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a = -1 thì Dy = -4 ≠ 0: hệ vô nghiệm
+ Nếu a =-5 thì hệ thành:
\(\left\{ \matrix{
– 3x + 3y = – 6 \hfill \cr
x – y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = x – 2\)
Hệ có vô số nghiệm (x, x – 2) ∈ R
Vậy hệ có nghiệm khi a ≠ 1