Bài 48 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các hệ phương trình sau:...

Giải các hệ phương trình sau:

a)

$\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr xy = 96 \hfill \cr} \right.$

b)

$\left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 55 \hfill \cr xy = 24 \hfill \cr} \right.$

a) Đặt $S = x + y; P = xy$

Ta có hệ:

$\left\{ \matrix{ {S^2} - 2P = 208 \hfill \cr P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {S^2} = 400 \hfill \cr P = 96 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ S = 20 \hfill \cr P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ S = - 20 \hfill \cr P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$ 

+ Với $S = 20, P = 96$  thì x, y là nghiệm phương trình:

${X^2} - 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = 8 \hfill \cr X = 12 \hfill \cr} \right.$ 

Ta có nghiệm $(8, 12)$ và $(12, 8)$

+ Với $S = -20, P = 96$ thì x, y là nghiệm phương trình:

${X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = - 8 \hfill \cr X = - 12 \hfill \cr} \right.$

Ta có nghiệm $(-8, -12)$ và $(-12, -8)$

Vậy hệ có 4 nghiệm : $(8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)$

b) Thay $y = {{24} \over x}$ vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :

${x^2} - {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} - 55{x^2} - 576 = 0$

Đặt $t = x^2\;(t ≥  0)$, ta có phương trình:

${t^2} - 55t - 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 64 \hfill \cr t = - 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.$

$t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8$

Nếu $x = 8 ⇒ y = 3$

Nếu $x = -8 ⇒  y = -3$

Vậy hệ có hai nghiệm $(8;3)$ và $(-8;-3)$