Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr
xy = 96 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – {y^2} = 55 \hfill \cr
xy = 24 \hfill \cr} \right.\)
a) Đặt \(S = x + y; P = xy\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} – 2P = 208 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} = 400 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} – 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 8 \hfill \cr
X = 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((8, 12)\) và \((12, 8)\)
+ Với \(S = -20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
Advertisements (Quảng cáo)
\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = – 8 \hfill \cr
X = – 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((-8, -12)\) và \((-12, -8)\)
Vậy hệ có 4 nghiệm : \((8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)\)
b) Thay \(y = {{24} \over x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :
\({x^2} – {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} – 55{x^2} – 576 = 0\)
Đặt \(t = x^2\;(t ≥ 0)\), ta có phương trình:
\({t^2} – 55t – 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 64 \hfill \cr
t = – 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.\)
\(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8\)
Nếu \(x = 8 ⇒ y = 3\)
Nếu \(x = -8 ⇒ y = -3\)
Vậy hệ có hai nghiệm \((8;3)\) và \((-8;-3)\)