Advertisements (Quảng cáo)
Bài 2. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.
a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\)
b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)
c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)
a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)
Gọi \(D\) là điều kiện xác định của biểu thức vế trái \(D = [- 8; +∞)\). Vế trái dương với mọi \(x ∈ D\) trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi \(x ∈ D\). Vậy bất phương trình vô nghiệm.
b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\)
Vế trái có \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\),
\(\sqrt{5-4x+x^{2}}=\sqrt{1+(x-2)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\)
Suy ra: \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}\) + \(\sqrt{5-4x+x^{2}} ≥ 2, ∀ x ∈\mathbb R\)
Mệnh đề sai \(∀x ∈\mathbb R\).
Bất phương trình vô nghiệm.
c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)
\(\eqalign{
& 1 + {x^2} < 7 + {x^2} \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \cr
& \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} – \sqrt {7 + {x^2}} < 0 \cr} \)
\( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} – \sqrt {7 + {x^2}} > 1\) Vô nghiệm.