Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a) Chứng minh \((b-c)^2< a^2\);
b) Từ đó suy ra \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\).
a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
\(a + b > c \Rightarrow a + b – c > 0\)
\(a + c > b \Rightarrow a + c – b > 0\)
\(\Rightarrow [a + (b +c)](a – (b – c)) > 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow {a^2} – {(b – c)^2} > 0 \Rightarrow {a^2} > {(b – c)^2}\)
b) Từ kết quả câu a), ta có:
\({a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{\left( {b – c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} – {\rm{ }}b} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2ac{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}2ab\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac} \right){\rm{ }} > {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}\)