Bài 3 trang 79 sgk đại số 10: Bài 1. Bất đẳng thức...

Bài 3. Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh $(b-c)^2< a^2$;

b) Từ đó suy ra $a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)$.

a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.

$a + b > c    \Rightarrow     a + b - c > 0$

$a + c > b   \Rightarrow     a + c - b > 0$

$\Rightarrow    [a + (b +c)](a - (b - c)) > 0$

$\Rightarrow {a^2} - {(b - c)^2} > 0 \Rightarrow {a^2} > {(b - c)^2}$

b) Từ kết quả câu a), ta có: 

 ${a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{\left( {b - c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}b} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2ac{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}2ab$

 $\Leftrightarrow 2\left( {ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac} \right){\rm{ }} > {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}$