Bài 4 trang 79 sgk đại số 10: Bài 1. Bất đẳng thức...

Bài 4. Chứng minh rằng: 

${x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}$, $∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0$.

Ta có: $(x - y)^2\ge 0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy$

Do $x ≥ 0, y ≥ 0$

$\Rightarrow x + y ≥ 0$,

Ta có

$\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)({x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy){\rm{ }} \ge \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)xy$

$\Leftrightarrow {x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}$