Bài 5 trang 79 sgk đại số 10: Bài 1. Bất đẳng thức...

Bài 5. Chứng minh rằng

$x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0$.

Đặt $\sqrt x = t, x ≥ 0 \Rightarrow t ≥ 0$.

Vế trái trở thành: ${t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1 = f(t)$

+) Nếu $t = 0$, hoặc $t = 1$ thì $f(t) = 1 >0$

+) Với $0 < t <1$,      

$f\left( t \right){\rm{ }} = {t^8} + {\rm{ }}({t^2} - {\rm{ }}{t^5}) + 1{\rm{ }} - {\rm{ }}t$

       ${t^8} > {\rm{ }}0;1{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} > {\rm{ }}0,;{t^2} - {\rm{ }}{t^{5}} = {t^3}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}t} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0$.

Suy ra $f(t) > 0$.

+) Với $t > 1$ thì $f\left( t \right){\rm{ }} = {t^5}({t^3}-{\rm{ }}1){\rm{ }} + {\rm{ }}t\left( {t{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}0$

Vậy $f(t) > 0 ∀t ≥ 0$.

Hay $x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0$.