Bài 6 trang 60 sgk hình học 10: Bài 1. Phương trình đường thẳng...

Bài 6. Cho đường thẳng d có phương trình tham số : $\left\{\begin{matrix} x = 2 + 2t& \\ y = 3 +t & \end{matrix}\right.$ 

Tìm điểm $M$ thuộc $d$ và cách điểm $A(0; 1)$ một khoảng bằng $5$.

 Cách 1.

Chuyển phương trình $d$ về dạng tổng quát bằng cách khử $t$ giữa hai phương trình ta được:

$d: x - 2y + 4 = 0$

Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là điểm thuộc $d$ và cách điểm $A(0; 1)$một khoảng bằng $5$ thì $x_0,y_0$ là nghiệm của hệ:

$\left\{\begin{matrix} x_{0}- 2y_{0} + 4 = 0& \\ {x_{0}}^{2} +(y_{0}-1)^{2}= 25 & \end{matrix}\right.$

Thế phương trình (1) vào (2) ta có: $x_0= y_0- 4$

${(2{y_0} - 4)^2} + {(y - 1)^2} = 25$

Giải phương trình ta được $2$ nghiệm:    

$y_0= 4$;             $y_0= \frac{-2}{5}$

Với ${y_0} = 4 \Rightarrow {x_0} = 4 \Rightarrow {M_1}(4;4)$

Với ${y_0} =  - {2 \over 5} \Rightarrow {x_0} =  - {{25} \over 4} \Rightarrow {M_2}\left( { - {2 \over 5}; - {{25} \over 4}} \right)$

Cách 2. 

Ta có $M ∈ d$ nên $M( 2 + 2t;  3 + t)$

Độ dài đoạn $MA$:

$MA = \sqrt {{{\left( {x - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_A}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}$

Mà $MA = 5$ nên $5 = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}$

$\Leftrightarrow 25 = 4{\left( {1 + t} \right)^2} + {\left( {2 + t} \right)^2}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr  t = - {{17} \over 5} \hfill \cr} \right. \cr}$

-  Khi $t = 1$ thay vào ta được $M(4; 4)$

-  Khi $t =  - {{17} \over 5}$ thay vào ta được $M\left( { - {{24} \over 5}; - {2 \over 5}} \right)$

Vậy có $2$ điểm $M$ thuộc $d$ cách điểm $A(0;1)$ một khoảng bằng $5$