Bài 6. Cho đường thẳng d có phương trình tham số : \(\left\{\begin{matrix} x = 2 + 2t& \\ y = 3 +t & \end{matrix}\right.\)
Tìm điểm \(M\) thuộc \(d\) và cách điểm \(A(0; 1)\) một khoảng bằng \(5\).
Cách 1.
Chuyển phương trình \(d\) về dạng tổng quát bằng cách khử \(t\) giữa hai phương trình ta được:
\(d: x - 2y + 4 = 0\)
Gọi \( M_0(x_0;y_0)\) là điểm thuộc \(d\) và cách điểm \(A(0; 1)\)một khoảng bằng \(5\) thì \(x_0,y_0\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{\begin{matrix} x_{0}- 2y_{0} + 4 = 0& \\ {x_{0}}^{2} +(y_{0}-1)^{2}= 25 & \end{matrix}\right.\)
Thế phương trình (1) vào (2) ta có: \(x_0= y_0- 4\)
\({(2{y_0} - 4)^2} + {(y - 1)^2} = 25\)
Giải phương trình ta được \(2\) nghiệm:
\(y_0= 4\); \(y_0= \frac{-2}{5}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Với \({y_0} = 4 \Rightarrow {x_0} = 4 \Rightarrow {M_1}(4;4)\)
Với \({y_0} = - {2 \over 5} \Rightarrow {x_0} = - {{25} \over 4} \Rightarrow {M_2}\left( { - {2 \over 5}; - {{25} \over 4}} \right)\)
Cách 2.
Ta có \(M ∈ d\) nên \(M( 2 + 2t; 3 + t)\)
Độ dài đoạn \(MA\):
\(MA = \sqrt {{{\left( {x - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}\)
Mà \(MA = 5\) nên \(5 = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}\)
\(\Leftrightarrow 25 = 4{\left( {1 + t} \right)^2} + {\left( {2 + t} \right)^2}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - {{17} \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)
- Khi \(t = 1\) thay vào ta được \(M(4; 4)\)
- Khi \(t = - {{17} \over 5}\) thay vào ta được \(M\left( { - {{24} \over 5}; - {2 \over 5}} \right)\)
Vậy có \(2\) điểm \(M\) thuộc \(d\) cách điểm \(A(0;1)\) một khoảng bằng \(5\)