Bài 1. Cho hai vecto \(a\) và \(b\) sao cho \(|\overrightarrow a | = 3;|\overrightarrow b | = 5;(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {120^0}\) . Với giá trị nào của m thì hai vecto \(\overrightarrow a + m\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a – m\overrightarrow b \) vuông góc với nhau?
Để hai vecto \(\overrightarrow a + m\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a – m\overrightarrow b \) vuông góc với nhau thì:
\(\eqalign{
& (\overrightarrow a + m\overrightarrow b )(\overrightarrow a – m\overrightarrow b ) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {(\overrightarrow a )^2} – m\overrightarrow a \overrightarrow b + m\overrightarrow a \overrightarrow b – {m^2}{(\overrightarrow b )^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow |\overrightarrow a {|^2} – m|\overrightarrow a ||\overrightarrow b |cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) + m|\overrightarrow a ||\overrightarrow b |cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) – {m^2}|\overrightarrow b | = 0 \cr
& \Leftrightarrow 9 + {{15} \over 2}m – {{15} \over 2}m – 25{m^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 9 – 25{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm {3 \over 5} \cr} \)