Câu 7 trang 156 Đại số 10: Ôn tập chương VI - Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác...

Bài 7. Chứng minh các đồng nhất thức.

a) ${{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = \cot x$

b) ${{{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}} = \tan {x \over 2}$

c) ${{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}} = {\tan ^2}({\pi  \over 4} - x)$

d) $\tan x - \tan y = {{\sin (x - y)} \over {\cos x.cosy}}$

a)

${{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = {{1 + \cos 2x - \cos x} \over {2\sin x\cos x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} = {{\cos x(2\cos x - 1)} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}(2\cos x - 1)}} = \cot x$

b) 

${{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}}$

$= {{2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2} + \cos {x \over 2}}}$

$= {{\sin {x \over 2}(2\cos {x \over 2} + 1)} \over {\cos {x \over 2}(2\cos {x \over 2} + 1)}}$=

$=\tan {x \over 2} \ $

c) 

${{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}$

$= {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}$

$= {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}$
$= {{1 - \cos ({\pi \over 2} - 2x)} \over {1 + \cos ({\pi \over 2} - 2x)}}$

$= {{2{{\sin }^2}({\pi \over 4} - x)} \over {2{{\cos }^2}({\pi \over 4} - x)}}$ 
$= {\tan ^2}({\pi \over 4} - x)$

d) 

$\tan x - \tan y$

$= {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }} - {{\sin y} \over {\cos y}}$

$= {{\sin {\rm{x}}\cos y - \cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}$

$= {{\sin (x - y)} \over {\cos x\cos y}}$