Bài 12 trang 11 SBT Toán 11 - Cánh diều: Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$, ta có...

Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$, ta có:

a) $\sin B = \sin \left( {A + C} \right)$

b) $\cos C = - \cos \left( {A + B + 2C} \right)$

c) $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}$

d) $\tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \cot \frac{{3C}}{2}$

Sử dụng định lý tổng 3 góc trong một tam giác: $A + B + C = \pi$

a) Sử dụng công thức $\sin x = \sin \left( {\pi - x} \right)$

b) Sử dụng công thức $\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x$

c) Sử dụng công thức $\sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

d) Sử dụng công thức $\tan x = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

Trong tam giác $ABC$, ta có $A + B + C = \pi$.

a) Do $A + B + C = \pi \Rightarrow A + C = \pi - B \Rightarrow \sin \left( {A + C} \right) = \sin \left( {\pi - B} \right) = \sin B$.

b) Do $A + B + C = \pi \Rightarrow A + B + 2C = \pi + C$

$\Rightarrow \cos \left( {A + B + 2C} \right) = \cos \left( {\pi + C} \right) = - \cos C$

c) Do $A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}$

$\Rightarrow \sin \frac{A}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}} \right) = \cos \frac{{B + C}}{2}$

d)

Do $A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B - 2C}}{2} = \frac{{A + B + C - 3C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}$

$\Rightarrow \tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}} \right) = \cot \frac{{3C}}{2}$.