Bài 13 trang 11 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$ với \( - \frac{\pi }{2} \(A = \sin \alpha...

Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$ với \( - \frac{\pi }{2}

a) $A = \sin \alpha .\cos \alpha$

b) $B = \sin \alpha - \cos \alpha$

c) $C = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha$

d) $D = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha$

a) Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ với $A = \sin \alpha$, $B = \cos \alpha$

Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

b) Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ với $A = \sin \alpha$, $B = \cos \alpha$

Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và điều kiện $- \frac{\pi }{2} để xét dấu của \(\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.

c) Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)$ với $A = \sin \alpha$, $B = \cos \alpha$.

Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và kết quả ở câu a.

d) Sử dụng công thức ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ với $A = {\sin ^2}\alpha$, $B = {\cos ^2}\alpha$

Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và kết quả ở câu a.

a) Ta có ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$

Suy ra $A = \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1}}{2} = - \frac{4}{9}$

b) Ta có ${B^2} = {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha$

Theo câu a, ta có $\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}$ nên ${B^2} = 1 - 2\left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B = \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}$.

Do $- \frac{\pi }{2} , ta suy ra \(\sin \alpha 0$. Từ đó \(B = \sin \alpha - \cos \alpha

Như vậy $B = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}$

c) Ta có ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)$

Theo câu a, ta có $\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}$ nên:

$C = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}$.

d) Ta có ${\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha$

$= {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha$

Theo câu a, ta có $\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}$ nên:

$D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}$