Bài 12 trang 46 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}$ với $a$ là số thực...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}$ với $a$ là số thực. Tìm $a$ để dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Xét hiệu $H = {u_{n + 1}} - {u_n}$. Để dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ tăng thì $H > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Giải bất phương trình với ẩn $a$, rồi kết luận.

Xét hiệu:

$H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}}$

$= \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} - \frac{{\left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left[ {a{n^2} + \left( {2a + 2} \right)n + a + 2} \right] - \left[ {a{n^2} + \left( {2a + 2} \right)n + 4} \right]}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

$= \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

Để dãy số tăng, ta cần $H > 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Ta có: $H > 0 \Leftrightarrow \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2$.

Vậy với $a > 2$ thì dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}$ là dãy số tăng.