Bài 13 trang 46 SBT Toán 11 - Cánh diều: Chứng minh rằng: Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1}$ bị chặn dưới...

Chứng minh rằng:

a) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1}$ bị chặn dưới.

b) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = - {n^2} - n$ bị chặn trên.

c) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$ bị chặn.

a) Chứng minh rằng $\sqrt {{n^2} + 1} \ge \sqrt 2$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

b) Chứng minh rằng $- {n^2} - n \le - 2$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

c) Chứng minh rằng \(0

a) Với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, ta có ${n^2} \ge 1 \Rightarrow {n^2} + 1 \ge 2 \Rightarrow \sqrt {{n^2} + 1} \ge \sqrt 2$.

Do đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1}$ bị chặn dưới.

b) Với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, ta có $n\left( {n + 1} \right) \ge 1.2 = 2 \Rightarrow {n^2} + n \ge 2 \Rightarrow - {n^2} - n \le - 2$

Do đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = - {n^2} - n$ bị chặn trên.

c) Ta nhận thấy với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ thì $\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} > 0$. Do đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$ bị chặn dưới.

Mặt khác, xét \({u_n} - 2 = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - 2 = \frac{{2n + 1 - 2\left( {n + 2} \right)}}{{n + 2}} = \frac{{ - 3}}{{n + 2}}

Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$ bị chặn trên.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, cho nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

Bài toán được chứng minh.