Bài 21 trang 50 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho ba số $\frac{1}{{b + c}}$, $\frac{1}{{c + a}}$, $\frac{1}{{a + b}}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng...

Cho ba số $\frac{1}{{b + c}}$, $\frac{1}{{c + a}}$, $\frac{1}{{a + b}}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số ${a^2}$, ${b^2}$, ${c^2}$ theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Sử dụng tính chất của cấp số cộng: Với dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng thì ${u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} = d$

Vì ba số $\frac{1}{{b + c}}$, $\frac{1}{{c + a}}$, $\frac{1}{{a + b}}$theo thứ tự lập thành cấp số cộng, nên ta có:

$\frac{1}{{a + b}} - \frac{1}{{c + a}} = \frac{1}{{c + a}} - \frac{1}{{b + c}} \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} = \frac{2}{{c + a}} \Leftrightarrow \frac{{b + c + a + b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} = \frac{2}{{c + a}}$

$\Leftrightarrow \frac{{a + c + 2b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} = \frac{2}{{\left( {c + a} \right)}} \Leftrightarrow \left( {a + c + 2b} \right)\left( {a + c} \right) = 2\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)$

$\Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} + 2b\left( {a + c} \right) = 2\left( {ac + {b^2} + ab + bc} \right)$

$\Leftrightarrow {a^2} + {c^2} + 2ac + 2ab + 2bc = 2ac + 2{b^2} + 2ab + 2bc \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}$

$\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}$

Suy ra ba số ${a^2}$,${b^2}$, ${c^2}$ theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Bài toán được chứng minh.