Bài 23 trang 50 SBT Toán 11 - Cánh diều: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết...

Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{l}{S_{10}} = 165\\{S_{20}} = 630\end{array} \right.$

a, b) Sử dụng công thức ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$, rồi giải hệ phương trình ẩn ${u_1}$ và $d$.

c) Sử dụng công thức ${S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}$, rồi giải hệ phương trình ẩn ${u_1}$ và $d$.

a) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 6d = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3d = 9\\{u_1} + 3d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} + 3.3 = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = 1\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là 1 và 3.

b) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 10\\{u_1} + \left( {{u_1} + 5d} \right) = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 10\\2{u_1} + 5d = 17\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 4d = 20\\2{u_1} + 5d = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 10\\d = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\d = - 3\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là 16 và $- 3$.

c) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{S_{10}} = 165\\{S_{20}} = 630\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left( {2{u_1} + 9d} \right).10}}{2} = 165\\\frac{{\left( {2{u_1} + 19d} \right).20}}{2} = 630\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 9d = 33\\2{u_1} + 19d = 63\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10d = 30\\2{u_1} + 19d = 63\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\2{u_1} + 19d = 63\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\2{u_1} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = 3\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là 3 và 3.