Bài 51 trang 57 SBT Toán 11 - Cánh diều: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?...

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. ${u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}$

B. ${u_n} = 1 + \frac{1}{{5n}}$

C. ${u_n} = \frac{1}{{{5^n} - 1}}$

D. ${u_n} = \frac{1}{{{n^2}}}$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân khi $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ là một hằng số.

a) Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{5^{n + 1}}}}:\frac{1}{{{5^n}}} = \frac{{{5^n}}}{{{5^n}.5}} = \frac{1}{5}$.

Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ là một hằng số với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{5}$.

b) Ta có ${u_n} = 1 + \frac{1}{{5n}} = \frac{{5n + 1}}{{5n}}$

Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{5\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right)}} :\frac{{5n + 1}}{{5n}} = \frac{{5n + 6}}{{5\left( {n + 1} \right)}}.\frac{{5n}}{{5n + 1}} = \frac{{n\left( {5n + 6} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {5n + 1} \right)}}$.

Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ không là một hằng số với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, dãy số đã cho không là cấp số nhân.

c) Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{5^{n + 1}} - 1}} :\frac{1}{{{5^n} - 1}} = \frac{{{5^n} - 1}}{{{5^{n + 1}} - 1}}$

Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ không là một hằng số với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, dãy số đã cho không là cấp số nhân.

d) Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}:\frac{1}{{{n^2}}} = \frac{{{n^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$

Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ không là một hằng số với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, dãy số đã cho không là cấp số nhân.

Đáp án đúng là A.