Bài 55 trang 30 SBT Toán 11 - Cánh diều: Phương trình $\sqrt 3 \cos x + 3\sin x = 0$ có các nghiệm là: A...

Phương trình $\sqrt 3 \cos x + 3\sin x = 0$ có các nghiệm là:

A. $x = - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

B. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

C. $x = - \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Nhận xét rằng nếu $\sin x = 0$ thì $\cos x = 0$. Điều này là vô lí, do ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

Như vậy $\sin x \ne 0$. Biến đổi phương trình trở thành $\cot x = - \sqrt 3$.

Sử dụng kết quả $\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Nếu $\sin x = 0$ thì $\cos x = 0$. Điều này là vô lí, do ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

Như vậy $\sin x \ne 0$. Phương trình tương đương với:

$\sqrt 3 \cos x = - 3\sin x \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = - \frac{3}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3$.

Vì $\cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \sqrt 3$, phương trình tương đương với:

$\cot x = \cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Đáp án đúng là A.