Bài 9 trang 11 SBT Toán 11 - Cánh diều: Chứng minh rằng: ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$...

Chứng minh rằng:

a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$.

b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$.

a) Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ với $A = {\sin ^2}x$, $B = {\cos ^2}x$

Sử dụng công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

b) Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)$ với $A = {\sin ^2}x$, $B = {\cos ^2}x$; Sử dụng công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

a) Ta có: ${\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

$= {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

Do ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$, ta suy ra

${1^2} = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

Bài toán được chứng minh.

b) Ta có: ${\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$

$= {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$

Do ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$, ta suy ra

$1 = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

Bài toán được chứng minh.