Bài 7.31 trang 38 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và \(AB =...

Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AB = AC = AA’ = a$. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm $A$ đến đường thẳng $B’C’$.

b) Giữa hai đường thẳng $BC$ và $AB’$.

a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B’C’$.

Bước 1: Tìm hình chiếu của điểm trên đường thẳng $B’C’$.

Kẻ $AH$ vuông góc với $B’C’$ tại $H$ thì $d\left( {A,B’C’} \right) = AH$.

Bước 2: Tính $AH$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC$ và $AB’$.

Bước 1: Dựng mặt phẳng qua đường thẳng $AB’$ và song song với $BC$ là $\left( {AB’C’} \right)$

Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc

$d\left( {BC,AB’} \right) = d\left( {BC,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {A’,\left( {AB’C’} \right)} \right).$

Bước 2: Tính $d\left( {A’,\left( {AB’C’} \right)} \right)$

a) Kẻ $AH$ vuông góc với $B’C’$ tại $H$ thì $d\left( {A,B’C’} \right) = AH$.

Ta có: $AB’ = AC’ = B’C’ = a\sqrt 2$ nên $AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Vậy $d\left( {A,B’C’} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

b) Vì $BC//\left( {AB’C’} \right)$ nên $d\left( {BC,AB’} \right) = d\left( {BC,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB’C’} \right)} \right).$

Mà $CA’$ cắt $AC’$ tại trung điểm của $CA’$ nên $d\left( {C,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {A’,\left( {AB’C’} \right)} \right)$

Đặt $d\left( {A’,\left( {AB’C’} \right)} \right) = h$ thì $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A'{B^{{\rm{‘}}2}}}} + \frac{1}{{A'{C^{{\rm{‘}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}$, suy ra $h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $d\left( {BC,AB’} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.