Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = AA’ = a\). Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(B’C’\).
b) Giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB’\).
a) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(B’C’\).
Bước 1: Tìm hình chiếu của điểm trên đường thẳng \(B’C’\).
Kẻ \(AH\) vuông góc với \(B’C’\) tại \(H\) thì \(d\left( {A,B’C’} \right) = AH\).
Bước 2: Tính \(AH\)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB’\).
Bước 1: Dựng mặt phẳng qua đường thẳng \(AB’\) và song song với \(BC\) là \(\left( {AB’C’} \right)\)
Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc
\(d\left( {BC,AB’} \right) = d\left( {BC,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {A’,\left( {AB’C’} \right)} \right).\)
Bước 2: Tính \(d\left( {A’,\left( {AB’C’} \right)} \right)\)
a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(B’C’\) tại \(H\) thì \(d\left( {A,B’C’} \right) = AH\).
Ta có: \(AB’ = AC’ = B’C’ = a\sqrt 2 \) nên \(AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy \(d\left( {A,B’C’} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
b) Vì \(BC//\left( {AB’C’} \right)\) nên \(d\left( {BC,AB’} \right) = d\left( {BC,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB’C’} \right)} \right).\)
Mà \(CA’\) cắt \(AC’\) tại trung điểm của \(CA’\) nên \(d\left( {C,\left( {AB’C’} \right)} \right) = d\left( {A’,\left( {AB’C’} \right)} \right)\)
Đặt \(d\left( {A’,\left( {AB’C’} \right)} \right) = h\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A'{B^{{\rm{‘}}2}}}} + \frac{1}{{A'{C^{{\rm{‘}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\), suy ra \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {BC,AB’} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).