Bài 7.30 trang 38 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB = a, AD = a\sqrt 2, AA’ = a\sqrt 3$...

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB = a,AD = a\sqrt 2 ,AA’ = a\sqrt 3$. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BDD’B’} \right)$.

b) Giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD’$.

a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BDD’B’} \right)$.

Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc của $A$ xuống mặt phẳng $\left( {BDD’B’} \right)$.

Ta có $\left( {ABCD} \right) \bot \left( {BB’D’D} \right)$.

Kẻ $AH$ vuông góc với $BD$ tại $H$.

Khi đó $AH \bot \left( {BB’D’D} \right)$, suy ra $d\left( {A,\left( {BB’D’D} \right)} \right) = AH$

Bước 2: Tính $AH$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD’$.

Bước 1: Dựng mặt phẳng qua đường thẳng $BD$ và song song với $CD’$ là $\left( {A’BD} \right)$

Chuyển khoảng cách về chân đường vuông góc$d\left( {CD’,BD} \right) = d\left( {CD’,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right){\rm{.\;}}$

Bước 2: Tính $d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right) \Rightarrow$$d\left( {CD’,BD} \right)$.

a) Kẻ $AH$ vuông góc với $BD$ tại $H$. Khi đó $AH \bot \left( {BB’D’D} \right)$, suy ra

$d\left( {A,\left( {BB’D’D} \right)} \right) = AH = \frac{{AB \cdot AD}}{{BD}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

b) Ta có: $CD’//\left( {A’BD} \right)$ nên$d\left( {CD’,BD} \right) = d\left( {CD’,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {A’BD} \right)} \right){\rm{.\;}}$

Vì $AC$ cắt $BD$ tại trung điểm của $AC$ nên $d\left( {C,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right)$.

Kẻ $AK$ vuông góc với $A’H$ tại $K$.

Khi đó $AK \bot \left( {A’BD} \right)$, suy ra $d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right) = AK = \frac{{AH \cdot AA’}}{{A’H}} = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$. Vậy $d\left( {CD’,BD} \right) = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$.