Bài 7.36 trang 41 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho tứ diện $OABC$ có $OA = OB = OC = a$ và $\widehat {AOB} = 90^\circ ;$ \(\widehat {BOC}...

Cho tứ diện $OABC$ có $OA = OB = OC = a$ và $\widehat {AOB} = 90^\circ ;$ $\widehat {BOC} = 60^\circ$; $\widehat {COA} = 120^\circ$. Tính theo $a$ thể tích khối tứ diện $OABC$.

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: $S = \frac{1}{3}Bh$.

Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy

$h$ là đường cao của hình chóp

Bước 1: Xác định đường cao của hình chóp $O.ABC$ có cạnh bên bằng nhau. Chân đường cao là tâm của đáy. Tính chiều cao

Bước 2: Tính diện tích đáy

Bước 3: Tính thể tích khối tứ diện $V = \frac{1}{3}OH.{S_{ABC}}$

Ta có: $AB = a\sqrt 2$, $BC = a$, $CA = a\sqrt 3$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Kẻ $OH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ tại $H$.

Vì $OA = OB = OC$ nên $HA = HB = HC$, hay $H$ là trung điểm của $AC$.

Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$, theo định lý Pythagore ta tính được: $OH = \frac{a}{2}$.

Vậy ${V_{OABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot OH = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}{\rm{.\;}}$