Bài 7.38 trang 41 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp $S. ABC$ có \(SA \bot \left( {ABC} \right)...

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a$ và đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB = a,AC = a\sqrt 3$. Kẻ $AM$ vuông góc với $SB$ tại $M,AN$ vuông góc với $SC$ tại $N$. Tính theo a thể tích khối chóp $S.AMN.$

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: ${\rm{S}} = \frac{1}{3}{\rm{Bh}}$.

Trong đó: ${\rm{B}}$ là diện tích đa giác đáy

h là đường cao của hình chóp

Áp dụng tỉ số thể tích $\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}}$

Bước 1: Tính thể tích khối $S.ABC$

Bước 2: Tìm tỉ số $\frac{{SM}}{{SB}};\frac{{SN}}{{SC}}$

Bước 3: Lập tỷ số thể tích $\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}}$ từ đó suy ra thể tích khối $S.AMN$

Ta có: ${V_{S.ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$, tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$ nên $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{2}$;

tam giác $SAC$ vuông tại $A$, đường cao $AN$ nên $\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SN \cdot SC}}{{S{C^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{1}{4}$.

Do đó $\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{8}$, suy ra

${V_{S.AMN}} = \frac{1}{8} \cdot {V_{S.ABC}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}$