Bài 7.39 trang 41 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp $S. ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $\widehat {BAC} = {60^ \circ }$...

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $\widehat {BAC} = {60^ \circ }$, biết diện tích các tam giác $ABC,SAB$ và $SAC$ lần lượt là $3\sqrt 3 ;9;12$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: ${\rm{S}} = \frac{1}{3}{\rm{Bh}}$.

Trong đó: ${\rm{B}}$ là diện tích đa giác đáy

h là đường cao của hình chóp

Bước 1:

Đặt $SA = a,AB = b,AC = c$.

Khi đó ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot bc \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot a = \frac{{abc\sqrt 3 }}{{12}}$

Bước 2:

Theo đề bài, ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } = 3\sqrt 3$, suy ra $bc$.

${S_{SAB}} = \frac{{ab}}{2} = 9$, suy ra $ab =$,

${S_{SAC}} = \frac{{ac}}{2}$ suy ra $ac$.

Nhân $ab.bc.ca = {\left( {abc} \right)^2} \Rightarrow abc \Rightarrow {V_{S.ABC}}$

Đặt $SA = a,AB = b,AC = c$.

Khi đó ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot bc \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot a = \frac{{abc\sqrt 3 }}{{12}}$

Theo đề bài, ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } = 3\sqrt 3$, suy ra $bc = 12$.

${S_{SAB}} = \frac{{ab}}{2} = 9$, suy ra $ab = 18;{S_{SAC}} = \frac{{ac}}{2} = 12$, suy ra $ac = 24$.

Do đó ${(abc)^2} = 12 \cdot 18 \cdot 24 = {72^2}$, hay $abc = 72$.

Vậy ${V_{S.ABC}} = 6\sqrt 3$.