Bài 7.49 trang 42 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ thể tích khối tứ diện ABC’D’ bằng A. $\frac{{{a^3}}}{3}$. B. $\frac{{{a^3}}}{2}$. C....

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ thể tích khối tứ diện ABC’D’ bằng

A. $\frac{{{a^3}}}{3}$.

B. $\frac{{{a^3}}}{2}$.

C. $\frac{{{a^3}}}{6}$.

D. $\frac{{2{a^3}}}{3}$.

Cách 1: Tính thể tích phần bù

Ta có ${V_{ACB’D’}} = {V_{ABCD.A’B’C’D’}} - \left( {{V_{B’.ABC}} + {V_{C.B’C’D’}} + {V_{D’.ACD}} + {V_{A.A’B’D’}}} \right)$.

Mà ${V_{ABCD.A’B’C’D’}} = {a^3}$ và ${V_{B’.ABC}} = {V_{C.B’C’D’}} = {V_{D’.ACD}} = {V_{A.A’B’D’}} = \frac{1}{3}.A’A.{S_{A’B’D’}} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{1}{6}{a^3}$.

$\Rightarrow {V_{ACB’D’}} =$

Cách 2: Sử dụng công thức ${V_{ACB’D’}} = \frac{1}{6}AC.B’D’.d\left( {AC,B’D’} \right).\sin \left( {AC,B’D’} \right)$

Cách 1:

Ta có ${V_{ACB’D’}} = {V_{ABCD.A’B’C’D’}} - \left( {{V_{B’.ABC}} + {V_{C.B’C’D’}} + {V_{D’.ACD}} + {V_{A.A’B’D’}}} \right)$.

Mà ${V_{ABCD.A’B’C’D’}} = {a^3}$ và ${V_{B’.ABC}} = {V_{C.B’C’D’}} = {V_{D’.ACD}} = {V_{A.A’B’D’}} = \frac{1}{3}.A’A.{S_{A’B’D’}} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{1}{6}{a^3}$.

Do đó ${V_{ACB’D’}} = {a^3} - \frac{4}{6}{a^3} = \frac{{{a^3}}}{3}$.

Cách 2: Sử dụng công thức ${V_{ACB’D’}} = \frac{1}{6}AC.B’D’.d\left( {AC,B’D’} \right).\sin \left( {AC,B’D’} \right)$

${V_{ACB’D’}} = \frac{1}{6}a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .a.\sin {90^ \circ } = \frac{{{a^3}}}{3}$