Câu 4.19 trang 136 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Chứng minh rằng...

a) Chứng minh rằng nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và dãy $\left( {{v_n}} \right)$ không có giới hạn hữu hạn thì dãy số $\left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ không có giới hạn hữu hạn.

b) Dãy số $\left( {{{\left( { - 1} \right)}^n} + {1 \over n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn hay không ?

a) Đặt ${{\rm{w}}_n} = {u_n} + {v_n}.$ Ta chứng minh dãy số $\left( {{\rm{w}_n}} \right)$ không có giới hạn hữu hạn, bằng phản chứng. Giả sử $\lim {{\rm{w}}_n} = M \in R.$ Khi đó $\lim {v_n} = \lim \left( {{{\rm{w}}_n} - {u_n}} \right) = M - L.$ Ta đi đến mâu thuẫn

b) Chứng minh tương tự câu a): Dãy số ${\left( { - 1} \right)^n}$ không có giới hạn hữu hạn và dãy số $\left( {{1 \over n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn $\left( {\lim {1 \over n} = 0} \right).$ Do đó dãy số $\left( {{{\left( { - 1} \right)}^n} + {1 \over n}} \right)$ không có giới hạn hữu hạn.