Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)
Hướng dẫn. a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{‘_n})\) với \({x_n} = n\pi ,x{‘_n} = n\pi + {\pi \over 4}.\)
Tìm \(\lim {x_n},\lim x{‘_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{‘_n}).\)
c) Chọn dãy số \(({x_n})\) sao cho \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }}\) Tìm \(\lim {x_n}\) và \(\lim f({x_n}).\)
a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{‘_n})\)
\({x_n} = n\pi ,x{‘_n} = n\pi + {\pi \over 4}\) (như trong hướng dẫn).
Khi đó \(\lim {x_n} = + \infty \) và \(\lim x{‘_n} = + \infty \);
\(\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi = 0\) và
\(\lim f(x{‘_n}) = limsin2x{‘_n} = \lim \sin \left( {2n\pi + {\pi \over 2}} \right) = 1.\)
Vì \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{‘_n}} \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Cách giải khác. Lấy dãy số \(({x_n})\) với
\({x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi \over 4},\)
Ta có \(\lim {x_n} = + \infty \) và
\(f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn} \hfill \cr
- 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\)
Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\)
b) Làm tương tự như câu a) không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\)
c) Chọn dãy \(({x_n})\) sao cho
\({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \Leftrightarrow {x_n} = {1 \over {2n\pi }}.\)
Khi đó \(\lim {x_n} = 0\) và
\(f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn}\hfill \cr
- 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\)
Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\);
d) Tương tự câu c, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)