Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 4.39 trang 140 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao:...

Câu 4.39 trang 140 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn...

Chia sẻ
Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại. Câu 4.39 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số

Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x\)                          b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \cos 3x\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\)                            d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)

Hướng dẫn. a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{‘_n})\) với \({x_n} = n\pi ,x{‘_n} = n\pi  + {\pi  \over 4}.\)

Tìm \(\lim {x_n},\lim x{‘_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{‘_n}).\)

c) Chọn dãy số \(({x_n})\) sao cho \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }}\) Tìm \(\lim {x_n}\) và \(\lim f({x_n}).\)

Giải

a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{‘_n})\)

   \({x_n} = n\pi ,x{‘_n} = n\pi  + {\pi  \over 4}\) (như trong hướng dẫn).

Khi đó \(\lim {x_n} =  + \infty \)  và \(\lim x{‘_n} =  + \infty \);

            \(\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi  = 0\)  và

            \(\lim f(x{‘_n}) = limsin2x{‘_n} = \lim \sin \left( {2n\pi  + {\pi  \over 2}} \right) = 1.\)

Vì \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{‘_n}} \right)\)  nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x.\)

Cách giải khác. Lấy dãy số \(({x_n})\) với

                                    \({x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi  \over 4},\)

Ta có \(\lim {x_n} =  + \infty \) và

\(f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn} \hfill \cr
– 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x.\)

b) Làm tương tự như câu a) không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \cos 3x\)

c) Chọn dãy \(({x_n})\) sao cho
                        \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi  \Leftrightarrow {x_n} = {1 \over {2n\pi }}.\)     

Khi đó \(\lim {x_n} = 0\)  và

\(f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn}\hfill \cr
– 1\text{ với n lẻ}  \hfill \cr} \right.\)

Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right)\)  không có giới hạn. Do đó không tồn tại

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\);

d) Tương tự câu c, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\)