Câu 4.30 trang 138 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho hai dãy số...

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$. Chứng minh rằng

a) Nếu ${u_n} \le {v_n}$ với mọi n và $\lim {u_n} =  + \infty$ thì ${{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} =  + \infty$                                             

b) Nếu $\lim {u_n} = L \in R$ và $\lim \left| {{v_n}} \right| =  + \infty$ thì $\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0$ 

c) Nếu $\lim {u_n} =  + \infty$ (hoặc $- \infty$) và  $\lim {v_n} = L \in R$ thì $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty$ (hoặc $- \infty$)

Giải          

a) Suy ra từ định nghĩa của dãy số có giới hạn $+ \infty$

b) Vì  $\lim \left| {{v_n}} \right| =  + \infty$ nên $\lim {1 \over {{v_n}}} = 0.$ Do đó

$\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = \lim \left( {{u_n}.{1 \over {{v_n}}}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right)\lim {1 \over {{v_n}}} = L.0 = 0$

c) Giả sử $\lim {u_n} =  + \infty$và $\lim {v_n} = L.$ Khi đó

                        ${u_n} + {v_n} = {u_n}\left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right)$

Theo b), ta có $\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0$. Vì $\lim {u_n} =  + \infty$ và $\lim \left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right) = 1 > 0$ nên $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty$

Nhận xét. Tương tự, có thể chứng minh được rằng

a) Nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn (tức là tồn tại một số dương M sao cho $\left| {{u_n}} \right| \le M$ với mọi n) và $\lim \left| {{u_n}} \right| =  + \infty$ thì $\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0$

b) Nếu $\lim {u_n} =  + \infty$(hay $- \infty$) và $\left( {{v_n}} \right)$ là một dãy số bị chặn thì

                        $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty$ (hay $- \infty$)