Câu 5.43 trang 186 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Cho hàm số, chứng minh rằng...

Cho hàm số

                $f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}}\left( {x \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;k \in Z} \right)$ 

Chứng minh rằng

                        $f’\left( x \right) = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}$

Vì $x \ne {\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z$ nên $\cos x \ne 0.$ Xét hai trường hợp

+ Nếu $\cos x > 0$ thì

                            $f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = {1 \over {\cos x}}$

Suy ra

            $f’\left( x \right) =  - {{\left( { - \sin x} \right)} \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Nếu $\cos x < 0$ thì

                        $f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = -{1 \over {\cos x}}$

Suy ra

$f’\left( x \right) =  - {{ - \sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $f’\left( x \right) = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\left( {x \ne {\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z} \right).$