Câu 52 trang 124 SBT Hình 11 nâng cao: Vậy góc giữa AC’ và A’B bằng 90°....

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC’ và A’B.

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mp(MNP).

a) Ta có $C’B’ \bot \left( {ABB’A’} \right),B’A \bot A’B$ nên $A’B \bot AC’$ (định lí ba đường vuông góc).

Vậy góc giữa AC’ và A’B bằng 90°.

b) Ta có

$\eqalign{  & N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2}  \cr  &  = {{{a^2}} \over 4} + {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2} \cr}$

Tương tự ta cũng có $M{N^2} = M{P^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2}$

Vậy MNP là tam giác đều.

Mặt khác:

$\eqalign{  & A{N^2} = A{P^2} = A{M^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4}  \cr  & C'{N^2} + C'{P^2} = C'{M^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4} \cr}$

Từ đó $AC’ \bot \left( {MNP} \right)$.