Câu 84 trang 130 SBT Hình 11 nâng cao: Tính diện tích tam giác SBM theo a, b, h, x...

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi S là điểm sao cho SA vuông góc với mp(ABC) và SA = h (h > 0). Trên cạnh CD lấy điểm M bất kì, đặt CM = x (0 ≤ x ≤a).

a) Tính diện tích tam giác SBM theo a, b, h, x.

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBM) khi M là trung điểm của CD.

c) Gọi hình chiếu của điểm A và điểm D trên mp(SBM) lần lượt là A₁ và D₁. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên CD thì các điểm A₁ và D₁ thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của mỗi đường tròn đó.

a) Kẻ $AK \bot MB$, do $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SK \bot MB$ (định lí ba đường vuông góc).

Vậy ${S_{SBM}} = {1 \over 2}BM.SK$

Mặt khác $BM = \sqrt {{b^2} + {x^2}}$ và $AK.MB = 2{{\rm{S}}_{AMB}} = ab$

tức là $AK = {{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}$

Từ đó

$\eqalign{  & S{K^2} = S{A^2} + A{K^2} = {h^2} + {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {x^2}}}  \cr  &  = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr}$

Vậy ${S_{SBM}} = {1 \over 2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}}$

b) Với A₁ là hình chiếu A trên SK, dễ thấy $A{A_1} \bot \left( {SBM} \right)$.

Từ đó $A{A_1}.SK = SA.AK$

suy ra $A{A_1} = {{SA.AK} \over {SK}}$

hay

$\eqalign{  & A{A_1} = {{h.{{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}} \over {{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} } \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}}}  \cr  &  = {{abh} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} }} \cr}$

Khi trung điểm DC thì $x = {a \over 2}$ nên

$A{A_1} = {{2abh} \over {\sqrt {4{a^2}{b^2} + 4{b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} }}$

c) Vì $A{A_1} \bot \left( {SMB} \right)$ nên $A{A_1} \bot SB$ mặt khác $A{\rm{D}} \bot SB$, từ đó $mp\left( {A{\rm{D}}{A_1}} \right) \bot SB.$

Gọi giao điểm của SB với mp(ADA₁) là I thì $AI \bot SB$, từ đó I là điểm cố định và mp(ADA₁) cố định.

Như vậy, điểm A₁ nhìn AI cố định dưới góc vuông và A­₁ thuộc mặt phẳng cố định (ADI), tức là A₁ thuộc đường tròn đường kính AI trong mp(ADI).

Bán kính của đường tròn đó bằng ${{AI} \over 2}$ mà

$AI.SB = SA.AB$

hay $AI = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

Vậy bán kính của đường tròn trên bằng ${{ah} \over {2\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$.

Vì D₁ là hình chiếu của D trên mp(SBM) nên DD₁ // AA₁ và dễ thất D₁ thuộc đường thẳng A₁I.

Như vậy, D₁ thuộc mp(ADI) và D₁ nhìn DI dưới góc vuông, tức là điểm D₁ thuộc đường tròn đường kính DI trong mp(ADI). Bán kính của đường tròn đó ${{DI} \over 2}$.

Mặt khác

$\eqalign{  & D{I^2} = D{A^2} + A{I^2}  \cr  &  = {b^2} + {{{a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}}  \cr  &  = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr}$

Từ đó, bán kính của đường tròn đó là

${1 \over 2}\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {a^2}{h^2} + {b^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}}}$