Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng a, cạnh bên a√6. Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua ∆ và điểm C’.
a) Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mp(P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
b) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).
a) Gọi I=CD∩Δ,J=BC∩Δ,
B1=C′J∩BB′,D1=C′I∩DD′
thì thiết diện thu được AB1C′D1.
Dễ thấy AB1C′D1 là hình bình hành và B1, D1 lần lượt là trung điểm của BB’, DD’.
Từ đó AD1=D1C′
Do đó thiết diện AB1C′D1 là hình thoi.
Advertisements (Quảng cáo)
\eqalign{ & {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}{B_1}{D_1},AC’ \cr & {B_1}{D_1} = B{\rm{D}} = a\sqrt 2 \cr & AC{‘^2} = A{C^2} + CC{‘^2} = 2{{\rm{a}}^2} + 6{{\rm{a}}^2} = 8{{\rm{a}}^2} \cr & \Rightarrow AC’ = 2{\rm{a}}\sqrt 2 \cr}
Vậy {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}a\sqrt 2 .2{\rm{a}}\sqrt 2 = 2{{\rm{a}}^2}.
b) Ta có AC \bot B{\rm{D}} mà ∆ // BD nên AC \bot \Delta .
Mặt khác C’C \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) nên AC’ \bot \Delta (định lí ba đường vuông góc).
Vậy \widehat {C’AC} là góc giữa mp(P) và mp(ABCD).
Ta có \tan \widehat {C’AC} = {{CC’} \over {AC}} = {{a\sqrt 6 } \over {a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 , từ đó \widehat {C’AC} = {60^0}
Chú ý. Cũng có thể tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD) bởi công thức
{S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}
mà {S_{ABC{\rm{D}}}} = {a^2},{S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}
tức là \cos \varphi = {1 \over 2}\,\,hay\,\,\varphi = {60^0}.