Bài 1.2 trang 99 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*...

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

a) ${1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = {{n\left( {4{n^2} - 1} \right)} \over 3};$   

b) ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over 4}$    

a)      Đặt vế trái bằng S_n

Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng ${{1\left( {4.1 - 1} \right)} \over 3} = 1$

Giả sử đã có ${S_k} = {{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3}$ với $k \ge 1$. Ta phải chứng minh

${S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3}$

            Thật vậy, ta có

$\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2} = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr & {\rm{ = }}{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr & = {{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]} \over 3} \cr & {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)} \over 3} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3} \cr}$

b)      Đặt vế trái bằng A_n

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có ${A_k} = {{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over 4},\left( {k \ge 1} \right)$

Ta có: 

$\eqalign{ & {A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} \cr & = {{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over 4} + {\left( {k + 1} \right)^3} \cr & {\rm{ = }}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)} \over 4} \cr & = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}} \over 4} \cr}$