Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )
a) \({1^2} + {3^2} + {5^2} + … + {\left( {2n – 1} \right)^2} = {{n\left( {4{n^2} – 1} \right)} \over 3};\)
b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {n^3} = {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over 4}\)
a) Đặt vế trái bằng Sn
Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \({{1\left( {4.1 – 1} \right)} \over 3} = 1\)
Giả sử đã có \({S_k} = {{k\left( {4{k^2} – 1} \right)} \over 3}\) với \(k \ge 1\). Ta phải chứng minh
\({S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 1} \right]} \over 3}\)
Thật vậy, ta có
\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) – 1} \right]^2} = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr
& {\rm{ = }}{{k\left( {4{k^2} – 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr
& = {{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k – 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]} \over 3} \cr
& {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)} \over 3} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 1} \right]} \over 3} \cr} \)
b) Đặt vế trái bằng An
Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có \({A_k} = {{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over 4},\left( {k \ge 1} \right)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} \cr
& = {{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over 4} + {\left( {k + 1} \right)^3} \cr
& {\rm{ = }}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)} \over 4} \cr
& = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}} \over 4} \cr} \)