Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có
a) \(2{n^3} – 3{n^2} + n\) chia hết cho 6.
b) \({11^{n + 1}} + {12^{2n – 1}}\) chia hết cho 133.
Giải:
a) HD: Đặt \({B_n} = 2{n^3} – 3{n^2} + n\) tính B1
Giả sử đã có \({B_k} = 2{k^3} – 3{k^2} + k\) chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh \({B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} – 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k\) chia hết cho 6.
b) Đặt \({A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n – 1}}\) Dễ thấy \({A_1} = 133\) chia hết cho 133.
Giả sử \({A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k – 1}}\) đã có chia hết cho 133.
Ta có
\(\eqalign{
& {A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}} \cr
& = {11.11^{k + 1}} + {12^{2k – 1}}{.12^2} \cr
& {\rm{ = 11}}{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k – 1}}\left( {11 + 133} \right) \cr
& = 11.{A_k} + {133.12^{2k – 1}} \cr} \)
Vì \({A_k} \vdots 133\) nên \({A_{k + 1}} \vdots 133\)