Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta...

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có

a)     $2{n^3} - 3{n^2} + n$ chia hết cho 6.

b)     ${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$ chia hết cho 133.

Giải:

a)      HD: Đặt ${B_n} = 2{n^3} - 3{n^2} + n$ tính B₁

Giả sử đã có ${B_k} = 2{k^3} - 3{k^2} + k$ chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh ${B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k$ chia hết cho 6.

b)      Đặt ${A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$ Dễ thấy ${A_1} = 133$ chia hết cho 133.

Giả sử ${A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}$ đã có chia hết cho 133.

Ta có

$\eqalign{ & {A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}} \cr & = {11.11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}{.12^2} \cr & {\rm{ = 11}}{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\left( {11 + 133} \right) \cr & = 11.{A_k} + {133.12^{2k - 1}} \cr}$

Vì ${A_k} \vdots 133$ nên ${A_{k + 1}} \vdots 133$