Bài 12 trang 128 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Tính tổng...

Tính tổng :

a) ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}$ 

b) ${S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}$    

Giải:

a)      HD: Với a = 1 ta có ${S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}$

Giả sử a ≠ 1. Nhân hai vế của hệ thức ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}$ với a và tính hiệu

${S_n} - a{S_n} = \left( {1 - a} \right){S_n}$

Từ đó, ta tính được ${S_n} = {{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}$

b)      Làm tương tự như câu a).