Câu 3.76 trang 97 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Cho dãy số...

Cho dãy số $({u_n})$ mà tổng số n số hạng đầu tiên của nó ( kí hiệu là ${S_n}$) được tính theo công thức sau:

                            ${S_n} = {{{3^n} - 1} \over {{3^{n - 1}}}}.$

a) Hãy tính ${u_1},{u_2}$ và ${u_3}.$

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $({u_n})$.

c) Chứng minh rằng dãy số $({u_n})$ là một cấp số nhân. Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

a )Ta có ${u_1} = {S_1} = 2,$

${u_2} = \left( {{u_1} + {u_2}} \right) - {u_1} = {S_2} - {u_1} = {S_2} - {S_1}$

     $= {8 \over 3} - 2 = {2 \over 3}$

${u_3} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) - ({u_1} + {u_2}) = {S_3} - {S_2}$

     $= {{26} \over 9} - {8 \over 3} = {2 \over 9}$

b) Đặt ${S_0} = 0$, ta có ${u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {{{3^n} - 1} \over {{3^{n - 1}}}} - {{{3^{n - 1}} - 1} \over {{3^{n - 2}}}} = {2 \over {{3^{n - 1}}}}\left( {\forall n \ge 1} \right)$

c) Ta có ${u_{n + 1}} = {2 \over {{3^n}}} = {1 \over 3} \times {2 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over 3}{u_n}\,$ với mọi $n \ge 1.$ Vì thế, dãy số $({u_n})$ là một cấp số nhân với công bội bằng ${1 \over 3}.$