Câu 3.83 trang 99 SBT Đại số 11 Nâng cao: Hãy tính tổng sau:...

Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = {{{2^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {5^n}}},$ và số nguyên dương N. Hãy tính tổng sau:

                                     ${S_N} = {1 \over {{u_1} - 1}} + {1 \over {{u_2} - 1}} + .... + {1 \over {{u_N} - 1}}.$

Với mỗi $n \ge 1,$ ta có

                  ${1 \over {{u_n} - 1}} =  - {1 \over 2}\left( {{{{2^n}} \over {{5^n}}} + 1} \right)$

Do đó: ${S_N} =  - {1 \over 2}\left( {{T_N} + N} \right),$ trong đó ${T_N} = {2 \over 5} + {{{2^2}} \over {{5^2}}} + ... + {{{2^N}} \over {{5^N}}}$

Dễ thấy, ${T_N}$ là tổng N số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng ${2 \over 5}$ và công bội bằng ${2 \over 5}$. Vì thế

             ${T_N} = {2 \over 5} \times {{1 - {{\left( {{2 \over 5}} \right)}^N}} \over {1 - {2 \over 5}}} = {2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}}$

Suy ra: 

${S_N} =  - {1 \over 2}\left( {{2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}} + N} \right) = {{ - \left( {2 + 3N} \right){{.5}^N} + {2^{N + 1}}} \over {{{6.5}^N}}}$