Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 3.78 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 3.78 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Cho dãy số...

Cho dãy số. Câu 3.78 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Ôn tập chương III - Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi

        \({u_1} = {1 \over 3}\) và \({u_{n + 1}} = {{n + 1} \over {3n}}{u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)

a) Chứng minh dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {{{u_n}} \over n}\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

c) Tính tổng \(S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\)

Advertisements (Quảng cáo)

a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(\forall n \ge 1\)

            \({{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}} = {1 \over 3} \times {{{u_n}} \over n},\,\,hay\,\,{v_{n + 1}} = {1 \over 3} \times {v_n}\)

Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} = {1 \over 3}\) và công bội bằng \({1 \over 3}\)

b) Ta có \({v_n} = {1 \over 3} \times {1 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over {{3^n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) Suy ra \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\) với mọi \(n \ge 1.\)

c) Ta có \(S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\)

\(\eqalign{
& = {v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{11}} \cr
& = {1 \over 3} \times {{1 - {1 \over {{3^{11}}}}} \over {1 - {1 \over 3}}} = {{{3^{11}} - 1} \over {{{2.3}^{11}}}} = {{88573} \over {177147}} \cr} \)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)