Câu 3.78 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Cho dãy số...

Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi

        ${u_1} = {1 \over 3}$ và ${u_{n + 1}} = {{n + 1} \over {3n}}{u_n}$ với mọi $n \ge 1.$

a) Chứng minh dãy số $({v_n}),$ mà ${v_n} = {{{u_n}} \over n}$ với mọi $n \ge 1,$ là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $({u_n})$.

c) Tính tổng $S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.$

a) Từ hệ thức xác định dãy số $({u_n})$ suy ra với mọi $\forall n \ge 1$

            ${{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}} = {1 \over 3} \times {{{u_n}} \over n},\,\,hay\,\,{v_{n + 1}} = {1 \over 3} \times {v_n}$

Do đó, dãy số $({v_n})$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${v_1} = {u_1} = {1 \over 3}$ và công bội bằng ${1 \over 3}$

b) Ta có ${v_n} = {1 \over 3} \times {1 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over {{3^n}}}$ với mọi $n \ge 1,$ Suy ra ${u_n} = {n \over {{3^n}}}$ với mọi $n \ge 1.$

c) Ta có $S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.$

$\eqalign{ & = {v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{11}} \cr & = {1 \over 3} \times {{1 - {1 \over {{3^{11}}}}} \over {1 - {1 \over 3}}} = {{{3^{11}} - 1} \over {{{2.3}^{11}}}} = {{88573} \over {177147}} \cr}$