Bài 2.50 trang 87 Sách bài tập Hình học 11: Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao...

Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}$ đạt giá trị cực tiểu.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có:

$M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 \over 2}A{B^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ 

$M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 \over 2}C{{\rm{D}}^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ 

Cộng (1) và (2) ta có:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}$

$= 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\,\,} \right)\,\,$ 

Gọi J là trung điểm của EF, ta có:

$\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) = 2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}$ 

Khi đó:

$\eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2} \cr & = 2\left( {2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) \cr & \ge E{F^2} + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) \cr}$ 

Vậy $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M \equiv J$.