Bài 3.32 trang 154 SBT Hình học 11:Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt...

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang svuông ABCD vuông tại A và D, có $AB = 2{\rm{a}},A{\rm{D}} = DC = a$, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).

b) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính $\tan \varphi$.

c) Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định $\left( \alpha  \right)$ và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với $\left( \alpha  \right)$

a) Ta có:

$\left. \matrix{ C{\rm{D}} \bot A{\rm{D}} \hfill \cr C{\rm{D}} \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)$

$\Rightarrow \left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)$

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì $DI\parallel CB$ và $DI \bot CA$ nên $AC \bot CB$. Do đó $CB \bot \left( {SAC} \right)$.

Vậy $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

b) Ta có:

$\varphi  = \widehat {SCA} \Rightarrow \tan \varphi  = {{SA} \over {AC}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}$

c)

$\left. \matrix{ DI \bot AC \hfill \cr DI \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DI \bot \left( {SAC} \right)$

Vậy $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của $\left( \alpha  \right)$ với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng $a\sqrt 2$. Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có $SH \bot DI$ và $SH = {{DI\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}$. Tam giác SDI có diện tích:

$\Delta S{\rm{D}}I = {1 \over 2}SH.DI = {1 \over 2}{{a\sqrt 6 } \over 2}.a\sqrt 2  = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}$