Bài 3.5 trang 118 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm cấp số cộng biết...

Tìm cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết

a) 

$\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275 \hfill \cr} \right.$

b) 

$\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a \hfill \cr u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2} \hfill \cr} \right.$

Giải:

a)      Ta có hệ 

$\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.$

Áp dụng công thức ${u_1} + {u_3} = 2{u_2}$ suy ra ${u_2} = 9\,\,\,\left( 3 \right)$

Thay ${u_2} = 9$ vào (1) và (2) ta được

$\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_3} = 18 \hfill \cr u_1^2 + u_3^2 = 194 \hfill \cr} \right.$           

Từ đây tìm được ${u_1} = 5,{u_3} = 13$ hoặc ${u_1} = 13,{u_3} = 5$

Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5

b)      Ta có

$\eqalign{ & {b^2} = u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + ... + {\left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]^2} \cr & {\rm{ = }}nu_1^2 + 2{u_1}d\left[ {1 + 2 + ... + \left( {n - 1} \right)} \right] + {d^2}\left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right] \cr & {\rm{ = }}nu_1^2 + n\left( {n - 1} \right){u_1}d + {{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right){d^2}} \over 6}\,\,\,\,\,\,\,\,(1){\rm{ }} \cr}$

Mặt khác, $a = n{u_1} + {{n\left( {n - 1} \right)d} \over 2}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (2) tìm được ${u_1}$ thay ${u_1}$ vào (1) đểm tìm d.

Kết quả $d =  \pm \sqrt {{{12\left( {n{b^2} - {a^2}} \right)} \over {{n^2}\left( {{n^2} - 1} \right)}}}$

${u_1} = {1 \over n}\left[ {a - {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}d} \right].$