Bài 3.7 trang 118 SBT Đại số và giải tích 11: Cho cấp số cộng chứng minh rằng...

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ chứng minh rằng

Nếu ${{{S_m}} \over {{S_n}}} = {{{m^2}} \over {{n^2}}}$

Thì ${{{u_m}} \over {{u_n}}} = {{2m - 1} \over {2n - 1}}$                             

Giải:

Ta có ${S_m} = {{2{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \over 2}m$ ;

${S_n} = {{2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \over 2}n.$           

Theo giả thiết

${{{S_m}} \over {{S_n}}} = {{\left[ {2{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \right]m} \over {\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}} = {{{m^2}} \over {{n^2}}}$         

Suy ra $\left( {2{u_1} - d} \right)\left( {m - n} \right) = 0$ (với m ≠ n ).

Từ đó ${u_1} = {d \over 2}$

Vậy ${{{u_m}} \over {{u_n}}} = {{{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \over {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}} = {{{d \over 2} + \left( {m - 1} \right)d} \over {{d \over 2} + \left( {n - 1} \right)d}} = {{2m - 1} \over {2n - 1}}$