Bài 5 trang 127 SBT Đại số và giải tích 11: Cho dãy số...

Cho dãy số

$\eqalign{ & \left( {{u_n}} \right): \cr & {\rm{ }}\left\{ \matrix{ {u_1} = {1 \over 3} \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{\left( {n + 1} \right){u_n}} \over {3n}}{\rm{voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right. \cr}$ 

a)      Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b)      Lập dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = {{{u_n}} \over n}$. Chứng minh dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân.

c)      Tìm công thức tính $\left( {{u_n}} \right)$ theo n.

Giải:

a)      Năm số hạng đầu là ${1 \over 3},{2 \over 9},{1 \over 9},{4 \over {81}},{5 \over {243}}$

b)      Lập tỉ số ${{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}}.{n \over {{u_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}.{n \over {n + 1}}$    (1)

Theo công thứcđịnh nghĩa ta có ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {3n}}$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {1 \over 3}$ hay ${v_{n + 1}} = {1 \over 3}{v_n}$

Vậy, dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân, có ${v_1} = {1 \over 3},q = {1 \over 3}$

c)      Để tính $\left( {{u_n}} \right)$, ta viết tích của n - 1 tỉ số bằng $\,{1 \over 3}$

${{{v_n}} \over {{v_{n - 1}}}}.{{{v_{n - 1}}} \over {{v_{n - 2}}}}...{{{v_3}} \over {{v_2}}}.{{{v_2}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}}$

Hay ${{{v_n}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}}$, suy ra ${v_n} = {1 \over 3}{\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}} = {1 \over {{3^n}}}$

Vậy ${u_n} = {n \over {{3^n}}}$