Cho dãy số
\(\eqalign{
& \left( {{u_n}} \right): \cr
& {\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 3} \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{\left( {n + 1} \right){u_n}} \over {3n}}{\rm{voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{{u_n}} \over n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.
c) Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right)\) theo n.
Giải:
a) Năm số hạng đầu là \({1 \over 3},{2 \over 9},{1 \over 9},{4 \over {81}},{5 \over {243}}\)
b) Lập tỉ số \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}}.{n \over {{u_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}.{n \over {n + 1}}\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Theo công thứcđịnh nghĩa ta có \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {3n}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {1 \over 3}\) hay \({v_{n + 1}} = {1 \over 3}{v_n}\)
Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = {1 \over 3},q = {1 \over 3}\)
c) Để tính \(\left( {{u_n}} \right)\), ta viết tích của n - 1 tỉ số bằng \(\,{1 \over 3}\)
\({{{v_n}} \over {{v_{n - 1}}}}.{{{v_{n - 1}}} \over {{v_{n - 2}}}}...{{{v_3}} \over {{v_2}}}.{{{v_2}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}}\)
Hay \({{{v_n}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}}\), suy ra \({v_n} = {1 \over 3}{\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}} = {1 \over {{3^n}}}\)
Vậy \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\)