Advertisements (Quảng cáo)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) \) :
\({\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = 1,{u_2} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = 2{u_n} – {u_{n – 1}} + 1{\rm\,\,{ với\,\, n}} \ge {\rm{2}} \hfill \cr} \right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;
b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) với \({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng ;
c) Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right) \) theo n.
Giải:
a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11
b) Từ công thức xác định dãy số ta có
\({u_{n + 1}} = 2{u_n} – {u_{n – 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} – {u_n} = {u_n} – {u_{n – 1}} + 1\) (1)
Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}\) nên từ (1), ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\({v_n} = {v_{n – 1}} + 1\) với \(n \ge 2\) (2)
Vậy \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} – {u_1} = 1\) công sai d = 1
c) Để tính \(\left( {{u_n}} \right) \) ta viết
\(\eqalign{
& {v_1} = 1 \cr
& {v_2} = {u_3} – {u_2} \cr
& {v_3} = {u_4} – {u_3} \cr
& … \cr
& {v_{n – 2}} = {u_{n – 1}} – {u_{n – 2}} \cr
& {v_{n – 1}} = {u_n} – {u_{n – 1}} \cr}\)
Cộng từng vế n – 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được
\({v_1} + {v_2} + … + {v_{n – 1}} = 1 – {u_2} + {u_n} = 1 – 2 + {u_n} = {u_{n – 1}}\) suy ra
\({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + … + {v_{n – 1}} = 1 + {{n\left( {n – 1} \right)} \over 2}\)
Mục lục môn Toán 11(SBT)