Bài 4 trang 127 SBT Đại số và giải tích 11: Viết năm số hạng đầu của dãy số...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ :

${\rm{ }}\left\{ \matrix{ {u_1} = 1,{u_2} = 2 \hfill \cr {u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm\,\,{ với\,\, n}} \ge {\rm{2}} \hfill \cr} \right.$ 

a)      Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b)      Lập dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}$. Chứng minh dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng ;

c)      Tìm công thức tính $\left( {{u_n}} \right)$ theo n.

Giải:

a)      Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11

b)      Từ công thức xác định dãy số ta có

${u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1$ hay ${u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1$   (1)

Vì ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}$ nên từ (1), ta có

${v_n} = {v_{n - 1}} + 1$ với $n \ge 2$    (2)

Vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${v_1} = {u_2} - {u_1} = 1$ công sai d = 1

c)      Để tính $\left( {{u_n}} \right)$ ta viết

$\eqalign{ & {v_1} = 1 \cr & {v_2} = {u_3} - {u_2} \cr & {v_3} = {u_4} - {u_3} \cr & ... \cr & {v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} \cr & {v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}} \cr}$ 

Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được

${v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}$ suy ra

${u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}$